Question

10．已知$\overrightarrow{a}$=（sinωx，sin（ωx-$\frac{π}{4}$）），$\overrightarrow$=（sinωx+2$\sqrt{3}$cosωx，sin（ωx+$\frac{π}{4}$）），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$任意兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為π，其中ω為常數(shù)，且ω＞0．
（1）若x=x₀（0≤x₀≤$\frac{π}{2}$）是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求sin2x₀的值；
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）寫出f（x）并使用積化和差公式，輔助角公式進(jìn)行化簡，根據(jù)相鄰零點(diǎn)間的距離，周期公式解出ω，得到f（x）的解析式；令f（x₀）=0得出sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，根據(jù)x₀的范圍依次求出cos（x₀-$\frac{π}{6}$），利用和角公式計(jì)算sin2x₀；
（2）根據(jù)x的范圍得出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=sinωx（sinωx+2$\sqrt{3}$cosωx）+sin（ωx-$\frac{π}{4}$）sin（ωx+$\frac{π}{4}$）
=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$[cos2ωx-cos（-$\frac{π}{2}$）]=$\frac{1}{2}$（1-cos2ωx）+$\sqrt{3}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+$\frac{1}{2}$=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∴g（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-2．
令g（x）=0得sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）=1．
∵g（x）兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為π，∴$\frac{2π}{2ω}$=π．∴ω=1．
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵x₀是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，∴2sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0，即sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$．
∵0≤x₀≤$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$．∴cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴sin2x₀=sin（2x₀-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+$\frac{1}{2}$=-$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$．
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值，最大值為2×1$+\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$．
∴f（x）的值域是[$\frac{1}{2}-\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．