Question

【題目】設(shè).

（1）若，且為函數(shù)的一個極值點，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若，且函數(shù)的圖象恒在軸下方，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，由為函數(shù)的一個極值點，則，即可求出參數(shù)的值，解得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

（2）依題意，，即在上恒成立，

令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，則的極小值需大于零，再次構(gòu)造函數(shù)求出參數(shù)的取值范圍.

解：（1），，由題意，所以，所以，令，得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；

（2）依題意，，即在上恒成立，

令，則.

對于，，故其必有兩個零點，且兩個零點的積為-1，

則兩個零點一正一負，設(shè)其中一個零點為，

則，即，

且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，即，

令，

則，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，故實數(shù)的取值范圍為.