Question

7．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長與底面邊長相等，則AB₁與側面ACC₁A₁所成角的正弦值等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{17}{18}$

Answer 1

分析 取A₁C₁中點E，連結B₁E，則B₁E⊥A₁C₁，B₁E⊥AA₁，從而B₁E⊥平面ACC₁A₁，進而∠B₁AE是AB₁與側面ACC₁A₁所成角，由此能出AB₁與側面ACC₁A₁所成角的正弦值．

解答 解：取A₁C₁中點E，連結B₁E，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長與底面邊長相等，
∴B₁E⊥A₁C₁，B₁E⊥AA₁，
又A₁C₁∩AA₁=A₁，∴B₁E⊥平面ACC₁A₁，
∴∠B₁AE是AB₁與側面ACC₁A₁所成角，
設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長與底面邊長為2，
則BE₁=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠B₁AE=$\frac{{B}_{1}E}{A{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴AB₁與側面ACC₁A₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．