已知橢圓C：()經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿(mǎn)足．求證：為定值．

（Ⅰ）（Ⅱ）①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)．同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，此時(shí)
．②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為（），
則直線(xiàn)OM的方程為，設(shè)，，由解得，，∴，同理，所以，為定值． 13分

解析試題分析：（Ⅰ）將與代入橢圓C的方程，

得解得，．
∴橢圓的方程為．   6分
（Ⅱ）由，知M在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)
．
同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，此時(shí)
．
②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為（），
則直線(xiàn)OM的方程為，設(shè)，，
由解得，，
∴，同理，
所以，
故為定值．   13分
考點(diǎn)：橢圓方程及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：求橢圓方程采用的待定系數(shù)法，第二問(wèn)中要證明式子結(jié)果是定值首先需求出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件可知這三點(diǎn)坐標(biāo)教容易求出，因此只需聯(lián)立方程求解即可

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)傾斜角為的直線(xiàn) 與該橢圓相交于P，兩點(diǎn)，且.
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn) 滿(mǎn)足，求該橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，上、下焦點(diǎn)分別為、，
向量．直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段中點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線(xiàn)的方程；
（3）記橢圓在直線(xiàn)下方的部分與線(xiàn)段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為，若曲線(xiàn)
與區(qū)域有公共點(diǎn)，試求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，的角平分線(xiàn)與軸垂直，求直線(xiàn)AB的斜率；
（3）在（2）的條件下，若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，且滿(mǎn)足的周長(zhǎng)為6．
（Ⅰ）求橢圓的方程；；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M使恒為定值？若存在求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓．
（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距，且成等差數(shù)列，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)（1）中的橢圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知曲線(xiàn)，
(1)化的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線(xiàn)？
(2)若上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，Q為上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離的最小值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知、分別為橢圓：的上、下焦點(diǎn)，其中也是拋物線(xiàn)： 的焦點(diǎn)，點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn)，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)（1，3）和圓：，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線(xiàn)段取一點(diǎn)，滿(mǎn)足：，（且）。
求證：點(diǎn)總在某定直線(xiàn)上。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線(xiàn)的離心率為，右準(zhǔn)線(xiàn)方程為。
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)m的值。  

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