Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO為四棱錐P-ABCD的高，且PO=

3

，E、F分別是BC、AP的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求三棱錐F-PCD的體積．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點(diǎn)G，連接FG，CG，由三角形中位線定理及平行四邊形性質(zhì)，可得EF∥CG，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到答案；
（2）取OA中點(diǎn)N，連接FN，由條件證明出FN⊥底面ABCD，再根據(jù)條件求出FN、DO、AC，再利用分割法得出V_F-PCD=V_A-PCD-V_A-FCD，利用條件中的線面垂直對(duì)三棱錐進(jìn)行換底，代入體積公式求解即可．

解答：（1）證明：取PD的中點(diǎn)G，連接FG，CG，
∵FG為△PAD的中位線，
∴FG∥AD且，F(xiàn)G=

1

2

AD
在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
又∵E為BC的中點(diǎn)，∴CE∥AD，且CE=

1

2

AD
∴CE∥FG且，CE=FG
∴四邊形EFCG為平行四邊形，∴EF∥CG，
又∵EF?平面PCD，CG?平面PCD
∴EF∥平面PCD；
（2）解：取OA中點(diǎn)N，連接FN
∵F為PA的中點(diǎn)，故FN∥PO，
∵OP⊥底面ABCD，∴FN⊥底面ABCD，
在△PAO中，F(xiàn)N=

1

2

PO=

3

2

，
∵底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，
∴AC⊥BD，且DO=1，AC=2

3

，
由幾何體得，V_F-PCD=V_A-PCD-V_A-FCD
=V_P-ACD-V_F-ACD
=

1

3

•S△ACD•PO-

1

3

•S△ACD•FN
=

1

3

•S△ACD(PO-FN)=

1

3

×

1

2

×2

3

×1×

3

2

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面平行的判定，幾何體的體積求法，其中（1）的關(guān)鍵是要在平面內(nèi)找到一條可能與EF平行的直線；（2）考查了幾何體的體積求法-分割法、換底法靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是利用垂直關(guān)系找?guī)缀误w的高，以及幾何體之間的關(guān)系，難度較大，屬中檔題．