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已知：|
a
|=
2
，|
b
|=3，
a
和
b
的夾角為45°，求：
（1）當向量
a
+λ
b
與λ
a
+
b
的夾角為鈍角時，λ的取值范圍；
（2）當λ=-2時，向量
a
+λ
b
與λ
a
+
b
的夾角的余弦值．
分析：（1）由已知中
a
+λ
b
與λ
a
+
b
b
的夾角為鈍角，知(
a
+λ
b
)•(λ
a
+
b
)＜0且
a
+λ
b
≠t(λ
a
+
b
)，(t＜0)，根據|
a
|=
2
，|
b
|=3，
a
和
b
的夾角為45°，可構造一個關于λ的不等式，解不等式即可得到λ的取值范圍；
（2）求出當λ=-2時，向量
a
+λ
b
與λ
a
+
b
的模及數量積，代入向量夾角公式，即可求出向量
a
+λ
b
與λ
a
+
b
的夾角的余弦值．
解答：解：（1）∵
a
+λ
b
與λ
a
+
b
的夾角為鈍角，知(
a
+λ
b
)•(λ
a
+
b
)＜0且
a
+λ
b
≠t(λ
a
+
b
)，(t＜0)
由(
a
+λ
b
)•(λ
a
+
b
)＜0得3λ2+11λ+3＜0
解得 
-11-
85
6
＜λ＜
-11+
85
6
；
當
a
+λ
b
=t(λ
a
+
b
)，(t＜0)時，由
a
與
b
不共線知
1=tλ
λ=t
，解得λ=t=-1（1舍去）
所以λ的取值范圍是
-11-
85
6
＜λ＜-1或-1＜λ＜
-11+
85
6
；
（2）當λ=-2時|
a
+λ
b
|=|
a
-2
b
|=
(
a
-2
b
)2
=
a
2+4
b
2-4
a
•
b
=
26

|λ
a
+
b
|=|-2
a
+
b
|=
(-2
a
+
b
)2
=
4
a
2+
b
2-2
a
b
=
5

（
a
+λ
b
）•（λ
a
+
b
）=（
a
-2
b
）•（-2
a
+
b
）=-2
a
2-2
b
2+5
a
b
=-7
所以  cosθ=
-7
26
5
=-
7
130
130
點評：本題考查的知識點是平面向量的綜合應用，其中（1）中易忽略向量
a
+λ
b
與λ
a
+
b
反向的情況，而錯解為
-11-
85
6
＜λ＜
-11+
85
6
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(2，y)，
b
=(-1，y)，若2
a
與
b
垂直，則y等于（　　）
A、-
2
B、
2
C、±
2
D、2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，則A∩B=（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知若
a
=(-2，λ)，
b
=(3，-5)，
a
和
b
夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）已知集合A={-2，1，2}，B={
a
+1，a}，且B⊆A，則實數a的值是
1
1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點A(
2
，0)，動點M，N滿足
OA
+
OM
=2
ON
，其中O是坐標原點，若KAM•K ON=-
1
2

（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）若過點H（0，h）（h＞1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個共公點，且l1⊥l2，求h的值．

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同步練習冊答案