Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_k}（k≥2），其中a₁∈Z（i=1，2，L，k），若對(duì)于任意的a∈A，總有-a∉A，則稱集合A具有性質(zhì)P．
設(shè)集合T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A）}，其中（a，b）是有序數(shù)對(duì)，集合T 中的元素個(gè)數(shù)分別為n．
（Ⅰ）檢驗(yàn)集合{0，1，2，3}與{-1，2，3}是否具有性質(zhì)P并對(duì)其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合T；
（Ⅱ）對(duì)任何具有性質(zhì)P的集合A，求n的最大值（用k表示）．

Answer 1

分析：（I）利用性質(zhì)P的定義判斷出具有性質(zhì)P的集合，利用集合S，T的定義寫出S，T．
（II）據(jù)具有性質(zhì)P的集合滿足a∈A，總有-a∉A，得到0∉A得到（a_i，a_i）∉T；當(dāng)（a_i，a_j）∈T時(shí)，（a_j，a_i）∉T，求出T中的元素個(gè)數(shù)．

解答：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性質(zhì)P．
集合{-1，2，3}具有性質(zhì)P，其相應(yīng)的集合S和T是
S=（-1，3），（3，-1），T=（2，-1），（2，3）．
（II）證明：首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)（a_i，a_j）共有k²個(gè)．
∵0∉A，
∴（a_i，a_i）∉T（i=1，2，k）；
又∵當(dāng)a∈A時(shí)，-a∉A時(shí)，-a∉A，
∴當(dāng)（a_i，a_j）∈T時(shí)，（a_j，a_i）∉T（i，j=1，2，k）．
從而，集合T中元素的個(gè)數(shù)最多為

1

2

(k2-k)=

k2-k

2

，
即n≤

k(k-1)

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義的應(yīng)用，正確理解定義的意義是解決本題的關(guān)鍵．