Question

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?) (A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-cos2x，求函數(shù)g（x）在區(qū)間x∈[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖可得A=1，一個周期內(nèi)最高點與最低點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為半個周期，得最小正周期T，進而得ω，代入最高點坐標(biāo)求φ，得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，代入求出g（x）的解析式，用兩角和的正弦公式把式中的第一項展開，合并，再逆用兩角差的正弦公式把式子變形為一個角的一個三角函數(shù)值，由x的范圍，得到2x-

π

6

的范圍，由正弦函數(shù)的圖象得到sin（2x-

π

6

）的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）由圖可得A=1，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，所以T=π．（2分）
所以ω=2．
當(dāng)x=

π

6

時，f（x）=1，可得sin(2•

π

6

+φ)=1，
因為|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．（5分）
所以f（x）的解析式為f(x)=sin(2x+

π

6

)．（6分）
（Ⅱ）g(x)=f(x)-cos2x=sin(2x+

π

6

)-cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．（10分）
因為0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

．
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，g（x）有最大值，最大值為1；
當(dāng)2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0時，g（x）有最小值，最小值為-

1

2

．（13分）

點評：給出條件求y=Asin（ωx+φ）的解析式，條件不管以何種方式給出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函數(shù)最值時，一般要把式子化為y=Asin（ωx+φ）的形式，從x的范圍由里向外擴，一直擴到Asin（ωx+φ）的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖象求出最值．