Question

已知y＞x＞0，若以x+y，

x2+y2

，λx為三邊能構(gòu)成一個(gè)三角形，則λ的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中的幾何計(jì)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可得到，

x+y+ x2+y2 ＞λx ① x2+y2 +λx＞x+y ② x+y+λx＞ x2+y2 ③

，對(duì)于③容易判斷對(duì)于任意λ＞0都成立．要求λ的取值范圍，所以由①得λ＜1+

y

x

+

1+( y x )2

，令

y

x

=t，t＞1，f（t）=1+t+

1+t2

，通過對(duì)f（t）求導(dǎo)容易判斷f（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增，所以f（t）＞f(1)=2+

2

，所以便得到λ≤2+

2

．同樣的辦法由②可得到λ＞1+

y

x

-

1+( y x )2

，令

y

x

=t，t＞1，g（t）=1+t-

1+t2

，并通過求導(dǎo)可判斷出g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，并且可將g（t）變成：g（t）=

2

1+ 1 t + 1+ 1 t2

，所以當(dāng)t趨向正無窮時(shí)，g（t）趨向1，所以便有t≥1，綜上便得到1≤t≤2+

2

．

解答： 解：根據(jù)已知條件得：

x+y+ x2+y2 ＞λx ① x2+y2 +λx＞x+y ② x+y+λx＞ x2+y2 ③

；
∵y＞x＞0，∴x+y=

x2+y2+2xy

＞

x2+y2

；
λ＞0，∴x+y+λx＞

x2+y2

對(duì)于任意y＞x＞0，λ＞0都成立；
∴（1）由①得，λ＜1+

y

x

+

1+( y x )2

，令

y

x

=t，t＞1，f（t）=1+t+

1+t2

；
f′（t）=1+

t

1+t2

＞0；
∴f（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f(t)＞f(1)=2+

2

；
∴λ≤2+

2

；
（2）由②得，λ＞1+

y

x

-

1+( y x )2

，令

y

x

=t，t＞1，g（t）=1+t-

1+t2

；
g′（t）=

1+t2 -t

1+t2

＞0；
∴g（t）在（1，+∞）單調(diào)遞增；
g(t)=

2t

1+t+ 1+t2

=

2

1+ 1 t + 1+ 1 t2

；
∴t趨向正無窮時(shí)，g（t）趨向1；
∴g（t）＜1；
∴λ≥1；
∴綜合（1）（2）得1≤λ≤2+

2

；
即λ的取值范圍為[1，2+

2

]．
故答案為：[1，2+

2

]．

點(diǎn)評(píng)：考查三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，這也是三條線段構(gòu)成三角形的條件，在解題過程中換元的方法，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．