Question

設向量

a

，

b

滿足|

a

|=

1

2

，|

b

|=3，x是

b

在

a

的方向上的正射影的數(shù)量，則函數(shù)y=|

a

|x的值域是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,平面向量及應用

分析：由題意知，向量

b

在

a

方向上的射影的數(shù)量是x=|

b

|•cosθ，且θ∈[0，π]，所以x∈[-3，3]，則函數(shù)y的最大值為(

1

2

)-3=8，最小值為(

1

2

)3=

1

8

，值域可求．

解答： 解：∵向量

a

，

b

的夾角為θ，且|

a

|=

1

2

，|

b

|=3，
∴向量

b

在

a

方向上的射影的數(shù)量是：x=|

b

|•cosθ=3cosθ，
又∵0≤θ≤π，∴-1≤cosθ≤1，∴-3≤x≤3；
由于y=(

1

2

)x在R上遞減，
則函數(shù)y=|

a

|x的最大值為(

1

2

)-3=8，最小值為(

1

2

)3=

1

8

，
則函數(shù)y的值域為[

1

8

，8]．
故答案為：[

1

8

，8]．

點評：本題考查了平面向量中一向量在另一向量方向上的射影，向量的夾角，指數(shù)函數(shù)的單調性的運用等概念，是基礎題．