Question

（2013•棗莊二模）一多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，它的正視圖為直角三角形，側視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示）．
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）當AB=3

3

時，求二面角A-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）過點E作EG⊥CF于G，連結DG．根據四邊形BCEG、四邊形ABCD是矩形，證出四邊形ADEG是平行四邊形，從而AE∥DG結合線面平行的判定定理，證出AE∥平面DCF；
（2）過點B作BH⊥EF交FE的延長線于點H，連結AH．根據線面垂直的判定與性質，證出HF⊥平面ABH，可得∠AHB就是二面角A-EF-B的平面角，Rt△EFG中根據EG=

3

且EF=2，得出∠GFE=60°且FG=1，從而在Rt△CEF中算出CF=

EF

cos∠CFE

=4，進而得到BE=CG=3．最后在Rt△BEH中，算出BH=

3 3

2

，在Rt△ABH中，∠AHB的正切值，由同角三角函數的關系算出∠AHB的余弦之值，即可得到二面角A-EF-B的余弦值等于

5

5

．

解答：解：（1）過點E作EG⊥CF于G，連結DG
由題設條件可得四邊形BCEG為矩形，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥EG且AD=EG
由此可得四邊形ADEG是平行四邊形，得AE∥DG
又∵AE?平面DCF，DG?平面DCF
∴AE∥平面DCF；
（2）過點B作BH⊥EF交FE的延長線于點H，連結AH
由三視圖可知AB⊥平面BCEF，結合HF?平面BCEF，得AB⊥HF
∵HF⊥BH，且AB、BH是平面ABH內的相交直線
∴HF⊥平面ABH，可得AH⊥HF
因此，∠AHB就是二面角A-EF-B的平面角
∵Rt△EFG中，EG=BC=

3

，EF=2，∴∠GFE=60°且FG=1
又∵∠CEF=90°，∴CF=

EF

cos∠CFE

=

2

cos60°

=4
由此可得BE=CG=3
Rt△BEH中，由sin∠BEH=

BH

BE

得BH=BEsin60°=

3 3

2

Rt△ABH中，tan∠AHB=

AB

AH

=

3 3

3 3 2

=2，可得cos∠AHB=

1 1+tan2∠AHB

=

5

5

因此，二面角A-EF-B的余弦值等于

5

5

．

點評：本題給出三視圖，求證線面平行并求二面角的余弦之值．著重考查了直線與平面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質和二面角的大小求法等知識，屬于中檔題．