Question

設是函數(shù)的零點．

（1）證明：；

（2）證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）借助導數(shù)證明函數(shù)在是單調函數(shù)，進而確定函數(shù)在上有且只有一個零點，進而證明；（2）先將原不等式化為兩個不等式與，先證明不等式，方法1先證明不等式，然后利用放縮法證明，從而證明不等式成立，方法2是在不等式的基礎上利用數(shù)學歸納法直接證明不等式成立；再證明不等式

先考察函數(shù)的單調性證明，然后就時，將對進行放縮，，進而證明。

試題解析：（1）因為，，且在上的圖像是一條連續(xù)曲線，

所以函數(shù)在內有零點．                           1分

因為，

所以函數(shù)在上單調遞增．                           2分

所以函數(shù)在上只有一個零點，且零點在區(qū)間內．

而是函數(shù)的零點，

所以．                                   3分

（2）先證明左邊的不等式：

因為，

由（1）知，

所以．                                   4分

即．

所以．                                  5分

所以．                   6分

以下證明．              ①

方法1（放縮法）：因為，                7分

所以

．                        9分

方法2（數(shù)學歸納法）：1）當時，，不等式①成立．

2）假設當（）時不等式①成立，即

．

那么

．

以下證明．                 ②

即證．

即證．

由于上式顯然成立，所以不等式②成立．

即當時不等式①也成立．

根據(jù)1）和2），可知不等式①對任何都成立．

所以．                            9分

再證明右邊的不等式：

當時，．

由于，，

所以．                                  10分

由（1）知，且，所以．            11分

因為當時，，                      12分

所以當時，

                                     ．

所以當時，都有．

綜上所述，．                       14分

考點：導數(shù)、零點存在定理、放縮法、數(shù)學歸納法