Question

已知三點(diǎn)A（0，a），B（b，0），C（c，0），b+c≠0，a≠0，矩形EFGH的頂點(diǎn)E、H分別在△ABC的邊AB、AC上，F(xiàn)、G都在邊BC上，不管矩形EFGH如何變化，它的對角線EG、HF的交點(diǎn)P恒在一條定直線l上，那么直線l的方程是     ．

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)椴还芫匦蜤FGH如何變化，它的對角線EG、HF的交點(diǎn)P恒在一條定直線l上，故取兩種特殊情況分別求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)即可求出直線l的方程，方法是：E和H分別為|AB|和|AC|的中點(diǎn)或三等份點(diǎn)，分別求出E、F、G、H四點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用相似得到相應(yīng)的P點(diǎn)、P′點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P和P′的坐標(biāo)寫出直線方程即為定直線l的方程．
解答：解：①當(dāng)E、H分別為|AB|和|AC|的中點(diǎn)時，
得到E（，），F(xiàn)（，0），H（，），G（，0）
則|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（c-b），
而|FO|=-，所以|OQ|=|FQ|-|OF|=（c-b）+=，所以P（，）；
②當(dāng)E、H分別為|AB|和|AC|的三等份點(diǎn)時，
得到E（，），F(xiàn)（，0），H（，），G（，0）
則|PQ|=，|FQ|=|EH|=|BC|=（c-b），而|FO|=-，
所以|OQ|=|FQ|-|OF|=（c-b）+=，所以P′（，）．
則直線PP′的方程為：y-=（x-），化簡得y=-x
故答案為：y=-x
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用三角形相似得比例解決數(shù)學(xué)問題，會根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線的一般式方程，是一道中檔題．