Question

如圖，橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過且于x軸垂直的直線與橢圓交于S,T，與拋物線交于C，D兩點，且

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設P為橢圓上一點，若過點M(2,0)的直線與橢圓相交于不同兩點A和B，且滿足（O為坐標原點），求實數(shù)t的取值范圍.

 

Answer 1

(1)(2)

【解析】

試題分析：

(1)拋物線的方程已知,則可以求出右焦點的坐標為,則可以知道和直線CD的方程我餓哦x=1,聯(lián)立直線與拋物線方程可以求出C,D兩點的坐標,進而得到CD的長度,再聯(lián)立直線與橢圓方程即可求出ST兩點的坐標,進而得到ST的距離,利用條件建立關于的等式,與聯(lián)立即可求出的值,進而得到橢圓的方程.

(2)因為直線l與橢圓有交點,所以直線l的斜率一定存在,則設出直線l的斜率得到直線l的方程,聯(lián)立直線l與橢圓方程得到AB兩點橫縱坐標之間的韋達定理,即的值,再利用發(fā)解即可得到P點的坐標,因為P在橢圓上,代入橢圓得到直線斜率k與t的方程,,利用k的范圍求解出函數(shù)的范圍即可得到t的范圍.

試題解析：

（1）設橢圓標準方程，由題意，拋物線的焦點為,.

因為,所以 2分

又，，,又

所以橢圓的標準方程. 5分

（2）由題意，直線的斜率存在，設直線的方程為

由消去，得,（*）

設,則是方程（*）的兩根，所以

即① 7分

且，由，得

若，則點與原點重合，與題意不符，故，

所以， 9分

因為點在橢圓上，所以

,即,

再由①，得又，. 13分

考點：拋物線橢圓直線與橢圓的位置關系韋達定理