Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F₁（0，-2

2

），F(xiàn)₂（0，2

2

），且離心率e=

2 2

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l（與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，求直線l傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)，由焦點(diǎn)可得c，由離心率可得a，再由b²=a²-c²可得b；
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，則△＞0①，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得2×(-

1

2

)=x₁+x₂，代入韋達(dá)定理可得m，k的方程②，代入①消掉m即可；

解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)，
由題意得c=2

2

，e=

c

a

=

2 2

3

，所以a=3，
b²=a²-c²=1，
所以橢圓的方程為x2+

y2

9

=1；
（II）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2+ y2 9 =1

得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0，
則△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即k²-m²+9＞0①，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

2km

k2+9

，
因?yàn)榫�段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，所以2×（-

1

2

）=-

2km

k2+9

，
化簡(jiǎn)得k²+9=2km，所以m=

k2+9

2k

②，
把②代入①整理得k⁴+6k²-27＞0，解得k＜-

3

或k＞

3

，
所以直線l傾斜角的取值范圍為（

π

2

，

2π

3

）∪（

π

3

，

π

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，（Ⅱ）中由直線交橢圓于不同兩點(diǎn)得不等式△＞0，由中點(diǎn)橫坐標(biāo)得一方程，兩者聯(lián)立即可求得范圍，稱為“方程不等式法”，解題中注意應(yīng)用．