Question

P為△ABC所在平面外一點，O為P在平面ABC上的射影．
（1）若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O點是△ABC的

 

心；
（2）若P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC內(nèi)部，則點O是△ABC的

 

心；
（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，則點O是△ABC的

 

心；
（4）若PA、PB、PC與底面ABC成等角，則點O是△ABC的

 

心．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖P是△ABC所在平面外一點，O是P點在平面a上的射影．若P到△ABC三邊的距離相等，由三角形全等可以得到三線段OE=OF=OD，三線段分別垂直于對應(yīng)的邊，可得其為內(nèi)心；同理可得P到△ABC三個頂點的距離相等，則O是△ABC的外心；PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是△ABC的垂心．

解答： 解：如圖P是△ABC所在平面外一點，O是P點在平面a上的射影．
（1）若PA、PB、PC兩兩互相垂直，由可證得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，即此時點O是三角形三邊高的交點，故此時點O是三角形的垂心，故應(yīng)填：垂．
（2）若P到△ABC三邊的距離相等，E，F(xiàn)，D分別是點P在三個邊上的垂足，故可證得OE，OF，OD分別垂直于三邊且相等，由內(nèi)切圓的加心的定義知，此時點O是三角形的內(nèi)心，故應(yīng)填：內(nèi)；
（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，因為PO⊥底面ABC，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心；故應(yīng)填：垂．
（4）若PA、PB、PC與地面ABC成等角，由條件可證得OA=OB=OC，由三角形外心的定義知此時點O是三角形的外心，故應(yīng)填：外；
綜上，三空答案依次應(yīng)為垂、內(nèi)、垂、外

點評：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，三角形五心的定義，考查邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．