Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…
（1）若a₁=1，b_n=n，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．記c_n=a_6n-1（n≥1），求證：數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n≥2時，有
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1（4分）
=1+．（6分）
又因為a₁=1也滿足上式，所以數(shù)列{a_n}的通項為．（7分）
（2）由題設(shè)知：b_n＞0，對任意的n∈N⁺有
b_n+2b_n=b_n+1，b_n+1b_n+3=b_n+2得b_n+3b_n=1，
于是又b_n+3b_n+6=1，故b_n+6=b_n（9分）
∴b_6n-5=b₁=1，b_6n-4=b₂=2，
b_6n-3=b₃=2，b_6n-2=b₄=1，
，
∴c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4
=1+2+2+1++=7（n≥1），
所以數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．（16分）
分析：（1）a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=1+．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項．
（2）由題設(shè)知：b_n＞0，對任意的n∈N⁺有b_n+2b_n=b_n+1，b_n+1b_n+3=b_n+2得b_n+3b_n=1，于是又b_n+3b_n+6=1，故b_n+6=b_n，b_6n-5=b₁=1，b_6n-4=b₂=2，由此能夠證明數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列．
點評：第（1）題考查數(shù)列的通項公式，解題時要注意累加法的合理運用，第（2）題考查等差數(shù)列的證明，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．