Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若，函數(shù)在處取得極小值，證明：.

Answer 1

【答案】（1），（2）見解析

【解析】

（1）要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，只要其導(dǎo)函數(shù)大于等于零在區(qū)間上恒成立即可，然后分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)進行求解

（2）由函數(shù)在處取得極小值可求出和的取值范圍， 所以要證，只需證明成立即可，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)即證明.

解：（1）因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以≥0在上恒成立，

即≥0，

因為，所以≤在上恒成立，

令，，則，

所以在上遞減，所以

所以當≤0時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以a的取值范圍，

（2）因為函數(shù)在處取得極小值，所以，即，

得，所以

的定義域為，

因為 ，所以，

設(shè)的兩個根為，

解得，

由，得，

所以當時，； 當時，

又因為在處取得極小值，所以，

要證，只需證明成立即可，

令，則，

所以在上為減函數(shù)，

所以，

所以