Question

三棱錐P-ABC是側棱長為2的正三棱錐，△ABC是底面，PA⊥PB，此三棱錐的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：球

分析：判斷正三棱錐的形狀，三棱錐擴展為正方體，三棱錐與正方體的外接球相同，求出外接球的半徑即可求解球的體積．

解答： 解：三棱錐P-ABC是側棱長為2的正三棱錐，△ABC是底面，PA⊥PB，
∴PA⊥PC，PC⊥PB，
三棱錐是正方體的一個角，三棱錐擴展為正方體，
正三棱錐的外接球與正方體的外接球相同，正方體的棱長為：2，
正方體的對角線計算外接球的直徑，球的半徑為：

1

2

×2

3

=

3

．
該球的體積為：

4π

3

r3=4

3

π．
故答案為：4

3

π．

點評：本題考查幾何體的外接球以及球的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．