Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數．
（1）求b的值，并求a的取值范圍；
（2）判斷f（x）在其定義域R上的零點的個數．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，據已知條件中函數的單調性，判斷出x=0是一個極值點，將x=0代入導函數得到函數值為0，求出b的值．將b的值代入f（x）中，利用f（x）在（0，1）上是增函數，判斷出f′（x）=-3x²+2ax＞0在（0，1）上恒成立，列出不等式求出a的范圍．
（2）利用函數在定義域內的單調性和最值研究零點的個數，對f（x）求導，找到單調區(qū)間，確定極值點，最后對極值點進行分類討論則得到零點個數．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=-3x²+2ax+b…（1分），
因為f（x）在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，
所以f（x）在x=0處取得極小值，f′（0）=0…（2分），解得b=0…（3分），
又因為f（x）在（0，1）上是增函數，所以f′（x）=-3x²+2ax＞0，a＞

3

2

x…（4分），
當x∈（0，1）時，0＜

3

2

x＜

3

2

，所以a的取值范圍是a≥

3

2

…（5分），
（2）由（1）得f/(x)=-3x(x-

2a

3

)，解f′（x）=0得x=0或x=

2a

3

(＞0)…（6分），

x	（-∞，0）	0	(0， 2a 3 )	2a 3	( 2a 3 ，+∞)
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

…（9分）
（i）①當f（0）=c＞0時，由上表知?x≤

2a

3

，f（x）＞0，x取某個充分大的實數（例如x1=|a|+|

3	c

|）時，f（x₁）＜0，f（x）在定義域上連續(xù)，所以f（x）在區(qū)間(

2a

3

，x1)上有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有1個零點…（10分）；
②當f（0）=c=0時，f（x）在區(qū)間(

2a

3

，x1)上有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有2個零點…（11分）；
③當f（0）=c＜0時，（�。┤�c=-

4

27

a3，則f(

2a

3

)=

4

27

a3+c=0，x取某個充分小的實數（例如x₂=-|a|）時，f（x₂）＞0，所以f（x）在區(qū)間（x₂，0）上有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有2個零點…（12分）；
（ⅱ）若c＜-

4

27

a3，則f(

2a

3

)=

4

27

a3+c＜0時，由上表知?x≥0，f（x）＜0，f（x）在區(qū)間（x₂，0）上有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有1個零點…（13分）；
（ⅲ）若-

4

27

a3＜c＜0，則f(

2a

3

)=

4

27

a3+c＞0時，f（x）在區(qū)間（x₂，0）、(0，

2a

3

)、(

2a

3

，x1)上各有一個零點，從而f（x）在其定義域R上有3個零點…（14分）；
綜上所述，當c＞0或c＜-

4

27

a3時，f（x）在其定義域R上有1個零點；當c=0或c=-

4

27

a3時，f（x）在其定義域R上有2個零點；當-

4

27

a3＜c＜0時，f（x）在其定義域R上有3個零點．

點評：本題主要考查導數為0時取到函數的極值的問題、根的存在性及根的個數判斷．這里多注意分類討論的思想．利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區(qū)間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．