Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)．
（1）求b的值，并求a的取值范圍；
（2）判斷f（x）在其定義域R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，據(jù)已知條件中函數(shù)的單調(diào)性，判斷出x=0是一個(gè)極值點(diǎn)，將x=0代入導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)值為0，求出b的值．將b的值代入f（x）中，利用f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，判斷出f′（x）=-3x²+2ax＞0在（0，1）上恒成立，列出不等式求出a的范圍．
（2）利用函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性和最值研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，對(duì)f（x）求導(dǎo)，找到單調(diào)區(qū)間，確定極值點(diǎn)，最后對(duì)極值點(diǎn)進(jìn)行分類討論則得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=-3x²+2ax+b…（1分），
因?yàn)閒（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
所以f（x）在x=0處取得極小值，f′（0）=0…（2分），解得b=0…（3分），
又因?yàn)閒（x）在（0，1）上是增函數(shù)，所以f′（x）=-3x²+2ax＞0，a＞

3

2

x…（4分），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，0＜

3

2

x＜

3

2

，所以a的取值范圍是a≥

3

2

…（5分），
（2）由（1）得f/(x)=-3x(x-

2a

3

)，解f′（x）=0得x=0或x=

2a

3

(＞0)…（6分），

x	（-∞，0）	0	(0， 2a 3 )	2a 3	( 2a 3 ，+∞)
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

…（9分）
（i）①當(dāng)f（0）=c＞0時(shí)，由上表知?x≤

2a

3

，f（x）＞0，x取某個(gè)充分大的實(shí)數(shù)（例如x1=|a|+|

3	c

|）時(shí)，f（x₁）＜0，f（x）在定義域上連續(xù)，所以f（x）在區(qū)間(

2a

3

，x1)上有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）在其定義域R上有1個(gè)零點(diǎn)…（10分）；
②當(dāng)f（0）=c=0時(shí)，f（x）在區(qū)間(

2a

3

，x1)上有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）在其定義域R上有2個(gè)零點(diǎn)…（11分）；
③當(dāng)f（0）=c＜0時(shí)，（ⅰ）若c=-

4

27

a3，則f(

2a

3

)=

4

27

a3+c=0，x取某個(gè)充分小的實(shí)數(shù)（例如x₂=-|a|）時(shí)，f（x₂）＞0，所以f（x）在區(qū)間（x₂，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）在其定義域R上有2個(gè)零點(diǎn)…（12分）；
（ⅱ）若c＜-

4

27

a3，則f(

2a

3

)=

4

27

a3+c＜0時(shí)，由上表知?x≥0，f（x）＜0，f（x）在區(qū)間（x₂，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）在其定義域R上有1個(gè)零點(diǎn)…（13分）；
（ⅲ）若-

4

27

a3＜c＜0，則f(

2a

3

)=

4

27

a3+c＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（x₂，0）、(0，

2a

3

)、(

2a

3

，x1)上各有一個(gè)零點(diǎn)，從而f（x）在其定義域R上有3個(gè)零點(diǎn)…（14分）；
綜上所述，當(dāng)c＞0或c＜-

4

27

a3時(shí)，f（x）在其定義域R上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)c=0或c=-

4

27

a3時(shí)，f（x）在其定義域R上有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-

4

27

a3＜c＜0時(shí)，f（x）在其定義域R上有3個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)為0時(shí)取到函數(shù)的極值的問題、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．這里多注意分類討論的思想．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識(shí)，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．