Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1-mx

x-1

是奇函數(shù)．（a＞0，且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．
（3）當a＞1，x∈（r，a-2）時，f（x）的值域是（1，+∞），求a與r的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得出f（x）=-f（x），由此方程恒成立，可得出參數(shù)m的方程，解出參數(shù)的值即可；
（2）由于本題中參數(shù)a的取值范圍未定，故應對它的取值范圍分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性再進行證明；
（3）由題設x∈（r，a-2）時，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定出兩個參數(shù)a及r的方程，解方程得出兩個參數(shù)的值．

解答：解：（1）由f（x）=log_a

1-mx

x-1

是奇函數(shù)得
f（-x）=-f（x）
即log_a 

1-mx

x-1

+log_a 

mx+1

-x-1

=0
log _a 

1-m2x2

1-x2

=0即m=-1（m=1舍去）
（2）由（1）得，f（x）=log_a 

x+1

x-1

（a＞0，a≠1），
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，令t（x）=

x+1

x-1

，
則t（x₁）-t（x₂）=

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∵x₁＞1，x₂＞1，x₁＜x₂
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0
∴t（x₁）＞t（x₂）
∴當a＞1時，log_a 

x1+1

x1-1

＞log_a

x2+1

x2-1

，
f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（3）因為x∈（r，a-2），定義域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°當r≥1時，則1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上為減函數(shù)，值域恰為（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a

1+a-2

a-2-1

=log_a

a-1

a-3

=1，即

a-1

a-3

=a，…（16分）
所以a=2+

3

且r=1 …（18分）
2°當r＜1時，則（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，這與a＞1不合，
所以a=2+

3

且r=1．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．