已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x2-2alnx.

（Ⅰ）求f(x)在[1，+∞上的最小值g(a);

（Ⅱ）若a>0,試證明“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要條件是“a=”.

解：（Ⅰ）

   （1）若上連續(xù),

上是單調(diào)遞增函數(shù).

   （2）若

當(dāng)

上是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)上是單調(diào)遞增函數(shù).

則時(shí)，取得最小值.

   （Ⅱ）記

   （1）充分性：若

當(dāng)在（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)上是單調(diào)遞增函數(shù).

時(shí)取等號(hào).

有唯一解.

   （2）必要性：若方程

當(dāng)上是單調(diào)遞減函數(shù)；

       當(dāng)上是單調(diào)遞增函數(shù).

       ∴當(dāng)x=x2時(shí)，

      

        

      

       設(shè)函數(shù)

       至多有一解.

      

       由（1）、（2）知，“方程有唯一解”的充要條件是“”.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

15、已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ex（x2-ax+a）．
（Ⅰ）求f′（0）的值；
（Ⅱ）若a＞2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax2+
3
2
x+
3
2
a．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；
（2）若f'（-1）=0，對(duì)任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，求m的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=
1
1-ax
，g（x）=（1+ax）ex，記F（x）=f（x）•g（x）．
（1）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為x+y-1=0，求a的值；
（2）若a=1，求函數(shù)g（x）的最小值；
（3）當(dāng)a=-
1
2
時(shí)，解不等式F（x）＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=（x2+1）（x+a）．
（1）若f'（-1）=0，求函數(shù)y=f（x）在[-
32
，1]上的最大值和最小值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•湖北模擬）已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=(x2+
3
2
)(x+a)．
（I）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；
（II）當(dāng)a=
9
4
時(shí)，對(duì)任意x1，x2∈[-1，0]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤m恒成立，試求m的取值范圍．

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