已知方向向量為
v
=（2，2
3
）的直線l過點（0，-2
3
）和橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（1）寫出直線l的方程      
（2）求橢圓C的方程．
分析：（1）根據(jù)直線的方向向量，算l的斜率k=
3
，結(jié)合直線l過點（0，-2
3
），利用直線方程的斜截式列式，可得直線l的方程；
（2）利用軸對稱的性質(zhì)，列式算出右準(zhǔn)線方程為x=3．根據(jù)直線l過橢圓的焦點算出右焦點為（2，0），由此算出a、b之值，即可得到橢圓C的方程．
解答：解：（1）∵
v
=（2，2
3
）=2（1，
3
），∴l(xiāng)的斜率k=
3
…（2分）
∵直線l過點（0，-2
3
），
∴直線l的方程為：y=
3
x-2
3
，①…（4分）
（2）過原點垂直l的直線方程為y=-
3
3
x，②…（6分）
解①②得x=
3
2
，…．（7分）
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對稱點O'在橢圓C的右準(zhǔn)線上，
∴由OO'的中點橫坐標(biāo)為
3
2
，得
a2
c
=2×
3
2
=3，即右準(zhǔn)線方程為x=3．…..（8分）
∵直線l：y=
3
x-2
3
過橢圓焦點，
∴令y=0，得焦點坐標(biāo)為（2，0）…．（9分）
∴c=2，代入準(zhǔn)線方程得a2=2×3=6，從而b2=
a2-c2
=2．
因此，所求橢圓C的方程為
x2
6
+
y2
2
=1．…（12分）
點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知方向向量為
v
=(1，
3
)的直線l過點(0，-2
3
)和橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右焦點，且橢圓的離心率為
6
3
．
（1）求橢圓C的方程：
（2）若已知點M，N是橢圓C上不重合的兩點，點D（3，0）滿足
DM
=λ
DN
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知方向向量為v=（1，
3
）的直線l過點（0，-2
3
）和橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點E（-2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足
OM
•
ON
=
4
3
6
．cot∠MON≠0（O為原點）．若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知方向向量為
v
=(1，
3
)的直線l過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點以及點（0，-2
3
），橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（1）求橢圓C的方程．
（2）是否存在過點E（-2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，使△MON的面積為
2
3
6
，（O為坐標(biāo)原點）？若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知方向向量為
V
=(1，
3
)的直線l過橢圓C：
x2
a 2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點以及點（0，-2
3
），直線l與橢圓C交于A、B兩點，且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為4
6
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F1且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點，
OM
•
ON
=
4
6
3tan∠MON
≠0（O坐標(biāo)原點），求直線m的方程．

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