Question

已知函數(shù)和g（x）=x-1-ln（x+1）
（I）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？說(shuō)明理由；
（II）求證：函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（2，3）上有唯一零點(diǎn)；
（III）當(dāng)x＞0時(shí)，不等式xf（x）＞kg'（x）恒成立，其中g(shù)'（x）是g（x）導(dǎo)函數(shù)，求正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

解：（I）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．
由于…（2分）
∵x＞0，∴
所以f'（x）＜0故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)．…（4分）
（II）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/225937.png' />
所以g（x）在（2，3）上是增函數(shù)…（6分）
又g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-ln4=2（1-ln2）＞0
所以，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（2，3）上有唯一零點(diǎn)．…（8分）
（III）當(dāng)x＞0時(shí)，不等式xf（x）＞kg'（x）恒成立
即對(duì)于x＞0恒成立
設(shè)，則…（9分）
由（II）知g（x）=x-1-ln（x+1）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
且g（x）=0存在唯一實(shí)數(shù)根a，滿(mǎn)足a∈（2，3），即a=1+ln（a+1）…（10分）
由x＞a時(shí)，g（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜a時(shí)，g（x）＜0，h'（x）＜0
知h（x）（x＞0）的最小值為
故正整數(shù)k的最大值為3．…（12分）
分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，可以判斷f'（x）＜0，從而函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；
（II）可以證明g（x）在（2，3）上是增函數(shù)，再利零點(diǎn)存在定理即可證明；
（III）利用分離參數(shù)法得，再求其最值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用分離參數(shù)法求解恒成立問(wèn)題，有一定的綜合性．