Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O的切線PA與弦BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，∠PBA的平分線交PA于點(diǎn)D，∠ABC=30°．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）若PA=2cm，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵PA是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，
∴∠PAB=90°，
∵BD平分∠PBA，
∴∠ABD=∠PBA=×30°=15°，
∴∠ADB=90°-∠ABD=75°；
（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠PCA=∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠PAC=∠PAB-∠BAC=30°；
在Rt△PAC中，
∵PA=2，∠PCA=90°，
∴PC=PA=1；
在Rt△ABP中，
∵∠ABP=30°，∠PAB=90°，
∴PB=2AP=2×2=4，
∴BC=PB-PC=3（cm）．
分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)知：∠PAB=90°，再根據(jù)∠PBA的平分線交PA于點(diǎn)D，∠ABC的度數(shù)，可得：∠ABD的度數(shù)，從而可將∠ADB的度數(shù)求出；
（2）在Rt△APC中，根據(jù)PA的長(zhǎng)和∠PAC的度數(shù)，可將PA的長(zhǎng)求出，在Rt△ABP中，根據(jù)三角函數(shù)可將PB的長(zhǎng)求出，從而可將BC的長(zhǎng)求出．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．