Question

給出定義在（0，+∞）上的三個(gè)函數(shù)：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，已知g（x）在x=1處取極值．
（1）確定函數(shù)h（x）的單調(diào)性；
（2）求證：當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，恒有成立．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)，g（x）=x²-alnx，則．…（2分）
由已知，g'（1）=0，即2-a=0?a=2．…（3分）
于是，則．由，…（5分）
所以h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)．…（6分）
（2）當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0…（8分）
欲證，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），即證．
設(shè)，
則．…（10分）
當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，φ'（x）＞0，所以φ（x）在區(qū)間（1，e²）上為增函數(shù)．
從而當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，φ（x）＞φ（1）=0，即，故．…（12分）
分析：（1）由題設(shè)，知g（x）=x²-alnx，則．由g'（1）=0，知a=2于是，由此能確定h（x）的單調(diào)性．
（2）當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，0＜f（x）＜2，所以 2-f（x）＞0，欲證，只需證x[2-f（x）]＜2+f（x），即證．由此能夠證明當(dāng)1＜x＜e²時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的確定和不等式的證明，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性、不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基本知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．