Question

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O距離大于1的概率為

1-

π

12

．

Answer 1

分析：本題是幾何概型問(wèn)題，欲求點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率，先由與點(diǎn)O距離等于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半球面，求出其體積，再根據(jù)幾何概型概率公式結(jié)合正方體的體積的方法易求解．

解答：解：本題是幾何概型問(wèn)題，
與點(diǎn)O距離等于1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)半球面，
其體積為：V₁=

1

2

×

4

3

π×1³=

2π

3

“點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率”事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域體積為2³-

2π

3

，
則點(diǎn)P與點(diǎn)O距離大于1的概率是

23- 2π 3

23

=1-

π

12

．
故答案為：1-

π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型的計(jì)算，關(guān)鍵在于掌握正方體的結(jié)構(gòu)特征與正方體、球的體積公式．