Question

lnx+lny=0，k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，求k最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用已知條件求出xy的關(guān)系式，然后化簡(jiǎn)不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性求出表達(dá)式的最值即可．

解答： 解：∵已知正實(shí)數(shù)x，y滿足lnx+lny=0，∴xy=1．
∵k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，∴k≤

x2+4y2

x+2y

，
故k應(yīng)小于或等于

x2+4y2

x+2y

的最小值．
令 x+2y=t，則由基本不等式可得t≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng) x=2y 時(shí)，取等號(hào)，故t∈[2

2

，+∞）．
故

x2+4y2

x+2y

=

t2-4

t

=t-

4

t

，故k應(yīng)小于或等于t-

4

t

的最小值．
由于函數(shù) t-

4

t

在[2

2

，+∞） 上是增函數(shù)，故當(dāng)t=2

2

時(shí)，t-

4

t

取得最小值為

2

，
故k的最大值是

2

，
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．