Question

（2012•河南模擬）定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f(

5

2

+x)=f(

5

2

-x)，(x-

5

2

)f′(x)＞0，任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＜5的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由題意可得y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

5

2

對稱，在（

5

2

，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，

5

2

）上是減函數(shù)．
根據(jù)任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），可得 x₁+x₂＜5． 由x₁+x₂＜5可得x₂ -

5

2

＜

5

2

-x₁，即x₁離對稱軸較遠(yuǎn)，
故f（x₁）＞f（x₂），由此得出結(jié)論．

解答：解：∵f(

5

2

+x)=f(

5

2

-x)，∴f（x）=f（5-x），即函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

5

2

對稱．
又因(x-

5

2

)f′(x)＞0，故函數(shù)y=f（x）在（

5

2

，+∞）上是增函數(shù)．
再由對稱性可得，函數(shù)y=f（x）在（-∞，

5

2

）上是減函數(shù)．
∵任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），故x₁和x₂在區(qū)間（-∞，

5

2

）上，∴x₁+x₂＜5．
反之，若 x₁+x₂＜5，則有x₂ -

5

2

＜

5

2

-x₁，故x₁離對稱軸較遠(yuǎn)，x₂ 離對稱軸較近，
由函數(shù)的圖象的對稱性和單調(diào)性，可得f（x₁）＞f（x₂）．
綜上可得，“任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充要條件，
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象的對稱性的應(yīng)用，充分條件、必要條件、充要條件的定義，
屬于中檔題．