Question

已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)n和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an+2

，T_n為數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)n和，求

lim

n→∞

T_n的值；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差數(shù)列？若存在．請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得{a_n+2}是首項(xiàng)為a₁+2=4，公比為2的等比數(shù)列．由此能求出a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）b_n=

1

an+2

=

1

2n+1-2+2

=

1

2n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出T_n=

1

2

-

1

2n+1

，從而得到

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

（

1

2

-

1

2n+1

）=

1

2

．
（3）假設(shè)存在這樣3項(xiàng)，則有a_r+a_t=2a_s，r＜s＜t，從而1+2^t-r=2^（s-r+1），由此推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差數(shù)列．

解答： 解：（1）a₁=S₁=2a₁-2，a₁=2．
a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2-2a_n，
a_n+1=2a_n+2，
a_n+1+2=2（a_n+2），
{a_n+2}是首項(xiàng)為a₁+2=4，公比為2的等比數(shù)列．
a_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）b_n=

1

an+2

=

1

2n+1-2+2

=

1

2n+1

，
T_n=

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n+1

=

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=

1

2

-

1

2n+1

，
∴

lim

n→∞

T_n=

lim

n→∞

（

1

2

-

1

2n+1

）=

1

2

．
（3）假設(shè)存在這樣3項(xiàng)，則有
a_r+a_t=2a_s，r＜s＜t，
∴2^r+1-2+2^t+1-2=2（2^s+1-2）
整理得到
2^r+2^t=2^s+1，
兩邊同時(shí)除以2^r，
1+2^t-r=2^（s-r+1），
等式左邊為奇數(shù)+偶數(shù)，其結(jié)果必然為奇數(shù)，
等式右邊為偶數(shù)，故上述等式不能成立，
∴數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)a_r，a_s，a_t（r＜s＜t）成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的極限值的求法，考查等差數(shù)列的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．