Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（3，0）、B（0，3），P、Q是線段AB上的兩個動點，且|PQ|=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的取值范圍為（　�。�

• A． [2，6]
• B． [4，6]
• C． [4，9）
• D． [6，9）

Answer 1

分析 可先畫出圖形，可設(shè)$\overrightarrow{BP}=k\overrightarrow{BA}$，根據(jù)條件便可得到$\overrightarrow{AQ}=-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{BA}$，且$0≤k≤\frac{2}{3}$，從而得到$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（\overrightarrow{OB}+k\overrightarrow{BA}）•[\overrightarrow{OA}-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{BA}]$，然后進行數(shù)量積的運算便可得到$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$，這樣即可求出二次函數(shù)$18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$在區(qū)間[0，$\frac{2}{3}$]的最大、最小值，從而得出該二次函數(shù)的值域，即得出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的取值范圍．

解答 解：如圖，

根據(jù)條件，$|AB|=3\sqrt{2}$，設(shè)$\overrightarrow{BP}$=k$\overrightarrow{BA}$；
∵$|PQ|=\sqrt{2}$；
∴$\overrightarrow{AQ}=-（1-k-\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}）\overrightarrow{BA}$=$-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{BA}$，且$0≤k≤\frac{2}{3}$；
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}）•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AQ}）$
=$（\overrightarrow{OB}+k\overrightarrow{BA}）•[\overrightarrow{OA}-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{BA}]$
=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}-（\frac{2}{3}-k）\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{BA}+k\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{OA}$$-k（\frac{2}{3}-k）{\overrightarrow{BA}}^{2}$
=$0+（\frac{2}{3}-k）•3•3\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}+k•3•3\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$$-k•（\frac{2}{3}-k）•18$
=18k²-12k+6
=$18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$；
∵$0≤k≤\frac{2}{3}$；
∴$k=\frac{1}{3}$時，$18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$取最小值4，k=0或$\frac{2}{3}$時，$18（k-\frac{1}{3}）^{2}+4$取最大值6；
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$的范圍為[4，6]．
故選：B．

點評 考查向量加法的幾何意義，共線向量基本定理，向量數(shù)乘的幾何意義，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式，配方法求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．