(2012•張掖模擬)在銳角△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.且
a-c
b-c
=
sinB
sinA+sinC

(1)求角A的大小及角B的取值范圍;
(2)若a=
3
,求b2+c2的取值范圍.
分析:(1)利用正弦定理,將
a-c
b-c
=
sinB
sinA+sinC
中的角化為邊,得b2+c2-a2=bc,再利用余弦定理即可得角A,再由三角形ABC為銳角三角形,求得角B的取值范圍;
(2)利用正弦定理將b2+c2轉(zhuǎn)化為三角函數(shù),再利用三角變換公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)型函數(shù),再利用(1)中角B的取值范圍求函數(shù)值域即可
解答:解:(1)由
a-c
b-c
=
sinB
sinA+sinC
a-c
b-c
=
b
a+c
即b2+c2-a2=bc
cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
,A∈(0,
π
2

A=
π
3

又∵△ABC是銳角三角形,∴
π
2
<B+A
,即
π
2
<B+
π
3
,得B>
π
6

π
6
<B<
π
2

(2)由
a
sinA
=2R
,得2R=
3
sin
π
3
=2
,∴b=2sinB,c=2sinC
B+C=
3
,∴C=
3
-B

∴b2+c2=4(sin2B+sin2C)=2(1-cos2B+1-cos2C)=4-2(cos2B+cos2C)=4-2[cos2B+cos(
3
-2B)]
=4-2(
1
2
cos2B-
3
2
sin2B)
=4-2cos(2B+
π
3
)

π
6
<B<
π
2
,∴
3
<2B+
π
3
3

∴當2B+
π
3
時,即B=
π
3
時,b2+c2取得最大值6.
2B+
π
3
=
3
時,即B=
π
2
時,b2+c2取得最小值5.
故所求b2+c2的取值范圍是(5,6].
點評:本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用,三角函數(shù)的值域的求法,利用定理實現(xiàn)邊角間的互化是解決本題的關(guān)鍵,
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