Question

已知拋物線x²=6y的焦點(diǎn)為F，橢圓C：的離心率為，P是它們的一個交點(diǎn)，且|PF|=2．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線y=kx+m（k≠0，m＞0）與橢圓C交于兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)D滿足=0，直線FD的斜率為k₁，試證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)P（x_p，y_p），根據(jù)拋物線定義能夠求出，，由此可以求出橢圓C的方程．
（II）由題意知點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），由題意知x_D=-4ky_D，，從而求出，進(jìn)而得到，由此可知．
解答：解：（I）設(shè)P（x_p，y_p），根據(jù)拋物線定義，，
∴，（2分）
∵，即，
∴a²=4b²，橢圓是，（4分）
把代入，得a=2，b=1，橢圓C的方程為；（6分）
（II）：∵，
∴，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），
∵，
∴x_D=-4ky_D，
由y_D=k•x_D+m，得，（10分）
∵，
∴，
∴，
∴．（12分）
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐軸線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．