Question

已知四棱錐P-ABCD的直觀圖和三視圖如圖所示，E是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求三棱錐C-PBD的體積；
（Ⅱ）若F是BC上任一點(diǎn)，求證：AE⊥PF；
（Ⅲ）邊PC上是否存在一點(diǎn)M，使DM∥平面EAC，試說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)該四棱錐的三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2和1的矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=2，根據(jù)體積公式即可求出三棱錐C-PBD的體積．
（Ⅱ）根據(jù)BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，滿足線面垂直的判定定理，則BC⊥平面PAB，從而BC⊥AE，又在△PAB中，PA=AB，E是PB的中點(diǎn)，
則AE⊥PB，而BC∩PB=B，則AE⊥平面PBC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AE⊥PF；
（Ⅲ）存在點(diǎn)M，可以使DM∥平面EAC，連接BD，設(shè)AC∩BD=0，連接EO．在△PBD中，EO是中位線，則PD∥EO，又EO?平面EAC，PD?平面EAC，根據(jù)線面平行的判定定理可知PD∥平面EAC，從而可知當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，可以使DM∥平面EAC．

解答：解：（Ⅰ）由該四棱錐的三視圖可知，四棱錐P-ABCD
的底面是邊長為2和1的矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=2．
∴VC-PM=VC-BCD=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

．（4分）
（Ⅱ）證明：∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=AB，E是PB的中點(diǎn)，
∴AE⊥PB．
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
∴AE⊥PF．（8分）
（Ⅲ）存在點(diǎn)M，可以使DM∥平面EAC．
連接BD，設(shè)AC∩BD=0，連接EO．
在△PBD中，EO是中位線，∴PD∥EO．
又∵EO?平面EAC，PD?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí)，可以使DM∥平面EAC．（12分）

點(diǎn)評：考查線面平行、線線垂直的判定定理以及體積的求解．涉及到的知識點(diǎn)比較多，知識性技巧性都很強(qiáng)，屬于中檔題．