Question

6．已知f（x）是一次函數，且滿足2f（x+1）-f（x-1）=2x+1，則f（x）=2x-5．

Answer 1

分析 根據f（x）為一次函數可設f（x）=ax+b，從而可以求出f（x+1），f（x-1），從而可以得出2f（x+1）-f（x-1）=ax+3a+b=2x+1，從而有$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，這樣即可求出a，b，從而得出f（x）的解析式．

解答 解：設f（x）=ax+b，則f（x+1）=a（x+1）+b=ax+a+b，f（x-1）=a（x-1）+b=ax-a+b；
∴2f（x+1）-f（x-1）=2ax+2a+2b-ax+a-b=ax+3a+b=2x+1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$；
∴f（x）=2x-5．
故答案為：2x-5．

點評 考查一次函數的一般形式，待定系數求函數解析式的方法，已知f（x）求f[g（x）]的方法，多項式相等時，對應項的系數相等．