【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．

（1）求證：無論m取什么實(shí)數(shù)，直線l恒過第一象限；
（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值以及最短長(zhǎng)度；
（3）設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

【答案】
（1）證明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，

∵m∈R，

∴ ，得x=3，y=1，

故l恒過定點(diǎn)D（3，1）

∵D（3，1）在第一象限，

∴直線l恒過第一象限；


（2）解：因?yàn)椋?﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25，

則點(diǎn)D在圓C的內(nèi)部，直線l與圓C相交．

圓心C（1，2），半徑為5，|CD|= ，

當(dāng)截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，l⊥CD，由于kCD= =﹣ ，

則l的斜率為2，即有﹣ =2，解得m=﹣ ．

此時(shí)最短弦長(zhǎng)為2 =4 ，

故當(dāng)m=﹣ 時(shí)，直線被圓截得的弦最短，最短的弦長(zhǎng)是4


（3）解：設(shè)M（x，y），則由CM⊥DM得 =﹣1，∴x2+y2﹣4x﹣3y+5=0．
【解析】（1）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點(diǎn)；（2）說明直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，圓心與定點(diǎn)連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長(zhǎng)；（3）由CM⊥DM得AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

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相關(guān)習(xí)題

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【題目】在正四棱錐中，已知異面直線與所成的角為，給出下面三個(gè)命題:

:若，則此四棱錐的側(cè)面積為；

：若分別為的中點(diǎn)，則平面；

:若都在球的表面上，則球的表面積是四邊形面積的倍.

在下列命題中，為真命題的是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知圓C與兩平行直線 x﹣y﹣8=0和x﹣y+4=0相切，圓心在直線2x+y﹣10=0上．
（1）求圓C的方程．
（2）過原點(diǎn)O做一條直線，交圓C于M，N兩點(diǎn)，求OM*ON的值．

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【題目】已知實(shí)數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y=3x﹣x3的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為（b，c）則ad等于（ ）
A.2
B.1
C.﹣1
D.﹣2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在長(zhǎng)方形中，設(shè)一條對(duì)角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos2α+cos2β=1類比到空間，在長(zhǎng)方體中，一條對(duì)角線與從其一頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面所成的角分別為α，β，γ，則有cos2α+cos2β+cos2γ= ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù) .若曲線在點(diǎn)處的切線方程為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在（0，+）上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知關(guān)于的不等式.

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）如果不等式的解集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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