Question

6．如圖，在半徑為常數(shù)r，圓心角為2θ（0＜2θ＜π）的扇形OAB內(nèi)作一內(nèi)切圓P，再在扇形內(nèi)作一個與扇形兩條半徑相切并與圓P外切的小圓Q．
（1）當2θ=$\frac{π}{3}$時，求圓Q的半徑；
（2）當θ為變量時，求圓Q的半徑的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓P的半徑為x，圓Q的半徑為y，圓P切OA于E，連結(jié)PE，由sin$\frac{π}{6}$=$\frac{x}{r-x}$，sin$\frac{π}{6}$=$\frac{y}{r-2x-y}$，即可得解．
（2）用θ表示圓Q的半徑可得：y=$\frac{rsinθ（1-sinθ）}{（1+sinθ）^{2}}$．令sinθ=t，0＜t＜1，y=r•$\frac{t-{t}^{2}}{（1+t）^{2}}$，由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出圓Q的半徑的最大值為$\frac{r}{8}$，此時sinθ=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）設(shè)圓P的半徑為x，圓Q的半徑為y，
圓P切OA于E，連結(jié)PE，當2θ=$\frac{π}{3}$時，
則sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{x}{r-x}$，
∴x=$\frac{1}{3}$r．
同理，得sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{y}{r-2x-y}$，解得：y=$\frac{r}{9}$，即圓Q的半徑為$\frac{r}{9}$．
（2）∵sin$θ=\frac{x}{r-x}$，解得：x=$\frac{rsinθ}{1+sinθ}$，
又∵sinθ=$\frac{y}{r-2x-y}$，
∴解得：y=$\frac{rsinθ（1-sinθ）}{（1+sinθ）^{2}}$．
令sinθ=t，0＜t＜1，y=r•$\frac{t-{t}^{2}}{（1+t）^{2}}$，
則y′=r•$\frac{1-3t}{（1+t）^{3}}$，
令y′=0，則t=$\frac{1}{3}$，
0＜t＜$\frac{1}{3}$時，y′＞0； $\frac{1}{3}$＜t＜1時，y′＜0．
∴當t=$\frac{1}{3}$時，y_極大值=y_max，
∴圓Q的半徑的最大值為$\frac{r}{8}$，此時sinθ=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的求法，考查圓的半徑的最大值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．