Question

（2013•廣州三模）斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，側(cè)面AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°，AC=3，AB=BC=2，E、F分別是A₁C₁，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面BB₁C₁C；
（2）求證：CE⊥面ABC．
（3）求四棱錐E-BCC₁B₁的體積．

Answer 1

分析：（1）通過作平行線，由線線平行證明線面平行即可；
（2）根據(jù)面面垂直，只需證明CE垂直于交線即可；
（3）根據(jù)底面積相等，同高的棱錐體積相等，將四棱錐分割為兩個(gè)體積相等的三棱錐，再根據(jù)體積公式求三棱錐的體積即可．

解答：（1）證明：取BC中點(diǎn)M，連結(jié)FM，C₁M．在△ABC中，
∵F，M分別為BA，BC的中點(diǎn)，
∴FM∥AC，F(xiàn)M=

1

2

AC．
∵E為A₁C₁的中點(diǎn)，AC∥A₁C₁
∴FM∥EC₁且FM=EC₁，
∴四邊形EFMC₁為平行四邊形∴EF∥C₁M．
∵C₁M?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，∴EF∥平面BB₁C₁C．
（2）證明：連接A₁C，∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∠A₁AC=60°
∴△A₁C₁C為等邊三角形
∵E是A₁C₁的中點(diǎn)．∴CE⊥A₁C₁
∵四邊形AA₁C₁C是菱形，∴A₁C₁∥AC．∴CE⊥AC．
∵側(cè)面AA₁C₁C⊥底面ABC，且交線為AC，CE?面AA₁C₁C
∴CE⊥面ABC
（3）連接B₁C，∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，所以四棱錐VE-BCC1B1=2VC-EC1B1
由第（2）小問的證明過程可知 EC⊥面ABC
∵斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∴面ABC∥面A₁B₁C₁．∴EC⊥面EB₁C₁
∵在直角△CEC₁中CC₁=3，EC1=

3

2

，∴EC=

3 3

2

∴S△B1EC1=

1

2

×

3

2

×

22-( 3 2 )2

=

3 7

8

∴四棱錐VE-BCC1B1=2VC-EC1B1=2×

1

3

×

3 7

8

×

3 3

2

=

3 21

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定、線面垂直的判定及棱錐的體積．