Question

已知函數(shù)．
（1）請寫出（不必證明）函數(shù)f（x）的定義域，奇偶性，單調(diào)性，值域，并畫出圖象；
（2）設(shè)任意的x₁＞0，x₂＞0，試猜測與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
奇偶性：偶函數(shù)；
單調(diào)性：函數(shù)
在區(qū)間（-∞，0）上為減函數(shù)；
在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)；
值域：（-∞，+∞）；
圖象如右：-------------（6分）
（2）對任意的x₁＞0，x₂＞0，，----------------（1分）
．-------------------------（1分）
因為，當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時，等號成立，--------------------（2分）
由函數(shù)f（x）=log₂x是單調(diào)遞增函數(shù)，有．
當(dāng)且僅當(dāng)x₁=x₂時，等號成立．（此結(jié)論猜出得2分）------------------------（2分）
分析：（1）先作出函數(shù)圖象，由函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)圖象給出函數(shù)f（x）的定義域，奇偶性，單調(diào)性，值域；
（2）由題意可猜測，將此兩代數(shù)式依據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，得到，觀察兩式發(fā)現(xiàn)可用基本不等式比較兩個真數(shù)的大小，從而證明出猜測的結(jié)論．
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，對數(shù)的運算性質(zhì)，基本不等式比較大小，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對數(shù)的性質(zhì)及理解基本不等式，綜合運用這些知識對猜測的結(jié)論進行證明