Question

5．已知函數(shù)$f（x）=4sinxcos（{x+\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}$．x∈R，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值及取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）先化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象，即可求出f（x）的最大值和最小值及取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）f（x）=4sinx（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+$\sqrt{3}$=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x+$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=π；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$，即x=-$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）的最小值為-$\sqrt{3}$，2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）的最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．