Question

已知在橢圓中，F(xiàn)₁（-c，0）（c＞0）是橢圓的左焦點(diǎn)，A（a，0），B（0，b）分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)O是橢圓的中心．又點(diǎn)P在橢圓上，且滿足條件：OP∥AB，點(diǎn)H是點(diǎn)P在x軸上的投影．
（Ⅰ）求證：當(dāng)a取定值時(shí)，點(diǎn)H必為定點(diǎn)；
（Ⅱ）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，且四邊形ABPH的面積等于，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，OP∥AB，得，代入橢圓方程，得，由此能夠證明為定值，點(diǎn)H必為定點(diǎn)．
（II）當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)O到直線AB的距離等于，由條件設(shè)直線AB的方程為：，則點(diǎn)O到直線AB的距離為，由，知，從而=，由四邊形ABPH的面積等于，知S_ABPH=S_△ABO+S_OBPH=．由此能夠求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（I）由，OP∥AB，得，代入橢圓方程，得，即，
由，得P點(diǎn)的坐標(biāo)為或，（3分）
∵PH⊥x軸，∴或，
∵a為定值，∴點(diǎn)H必為定點(diǎn)．（6分）

（II）當(dāng)點(diǎn)P在第二象限，以O(shè)P為直徑的圓與直線AB相切，
即等價(jià)于點(diǎn)O到直線AB的距離等于，（8分）
由條件設(shè)直線AB的方程為：，
則點(diǎn)O到直線AB的距離為，
又由（I）可知，所以，
從而=，即①（10分）
又四邊形ABPH的面積等于，
則S_ABPH=S_△ABO+S_OBPH
=
整理得ab②（12分）
由①②解得，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓錐曲線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．