Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₂+a₆=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+n²+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出，
（2）利用遞推公式求數(shù)列b_n的通項公式，應(yīng)用乘“公比”錯位相減求和即可

解答 解：（1）設(shè)公差為d，
∵a₁=1，且a₂+a₆=14
∴2a₁+6d=14
解得d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1；
（2）∵$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+n²+1=n²+2n，①
當(dāng)n=1時，$\frac{_{1}}{2}$=3，即b₁=6，
當(dāng)n≥2時，$\frac{_{1}}{2}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=（n-1）²+2（n-1），②
由①-②，得$\frac{_{n}}{{2}^{n}}$=2n+1，
∴b_n=（2n+1）2ⁿ，
∴T_n=3×2¹+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ，③
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁵+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹，④，
∴③-④得，
-T_n=6+2（2²+2³+2⁵+…+2ⁿ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹=6+2×$\frac{{2}^{1}-{2}^{n+1}}{1-2}$-（2n+1）2ⁿ⁺¹=（-2n+1）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題主要考查了利用遞推公式由“和”求“項”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，由等比數(shù)列與等差數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的求和，用乘“公比”錯位相減，其中的公比是指成等比數(shù)列的公比．