Question

已知函數(shù)f（x）=|x+a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，求不等式f（x）≥|x+1|+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）＜2存在實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 當(dāng)a=-1時，不等式即|x-1|-|x+1|≥1，化簡可得

x≤-1 2≥1

，或

-1＜x≤1 -2x≥1

，或

x＞1 -2≥1

．解出每個不等式組的解集，再取并集，即為所求．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），則由絕對值的意義可得g（x）的最小值為2|a|，依題意可得2＞2|a|，由此求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ） 當(dāng)a=-1時，不等式f（x）≥|x+1|+1可化為|x-1|-|x+1|≥1，
化簡可得

x≤-1 2≥1

，或

-1＜x≤1 -2x≥1

，或

x＞1 -2≥1

．
解得x≤-1，或-1＜x≤-

1

2

，即所求解集為{x|x≤-

1

2

}．  …（5分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），則g（x）=|x+a|+|x-a|≥2|a|，∴g（x）的最小值為2|a|．
依題意可得2＞2|a|，即-1＜a＜1．
故實數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．    …（10分）

點評：本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，屬于中檔題．