Question

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年需投入固定成本為0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投入0.25萬元．經(jīng)預(yù)測知，當(dāng)售出這種產(chǎn)品t百件時，若0＜t≤5，則銷售所得的收入為5t-t²萬元：若t＞5，則銷售所得收入為+萬元．
（1）若該公司的這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x百件（x＞0），請把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為當(dāng)年生產(chǎn)量x的函數(shù)；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，當(dāng)年公司所獲利潤最大？
（3）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，當(dāng)年公司不會虧本？（取為4.64）

Answer 1

（本題滿分13分）
解：（1）當(dāng)0＜x≤5時，f（x）=5x-0.5x²-（0.5+0.25x）=-0.5x²+4.75x-0.5
當(dāng)x＞5時，=-0.125x+11
∴f（x）= …
（2）當(dāng)0＜x≤5時，f（x）=-0.5x²+4.75x-0.5=-0.5（x-4.75）²+10.78125
∴當(dāng)x=4.75時，f（x）_max=10.78125
當(dāng)x＞5時，f（x）=-0.125x+11＜-0.125×5+11=10.375＜10.78125
∴當(dāng)年產(chǎn)量為4.75（百件）時，當(dāng)年公司所得利潤最大，最大為10.78125萬元．…
（3）由題意知f（x）≥0
當(dāng)0＜x≤5時，-0.5x²+4.75x-0.5≥0，
即
∴0.11≤x≤9.39，又0＜x≤5，
∴0.11≤x≤5
當(dāng)x＞5時，-0.125x+11≥0，
∴5＜x≤88
綜上可得，∴0.11≤x≤88
∴當(dāng)年產(chǎn)量為11件～8800件之間時，公司不會虧本．…
分析：（1）根據(jù)銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤=銷售所得的收入-銷售成本，建立函數(shù)關(guān)系即可；
（2）分別求出每一段函數(shù)的最值，然后比較求出最大值，從而求出所求；
（3）由題意知f（x）≥0，然后分別求出每一段滿足的x的值即可．
點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及分段函數(shù)求最值問題，同時考查了計算能力，屬于中檔題．