Question

（2012•湘潭三模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2，
（1）試求橢圓M的方程；
（2）若斜率為

1

2

的直線l與橢圓M交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P(1，

3

2

)為橢圓M上一點(diǎn)，記直線PC的斜率為k₁，直線PD的斜率為k₂，試問：k₁+k₂是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2，能求出橢圓M的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立直線l的方程與橢圓方程，得x²+bx+b²-3=0，當(dāng)△＞0時(shí)，即b²-4（b²-3）＞0，直線l與橢圓有兩交點(diǎn)，由韋達(dá)定理，得：

x1+x2=-b  x1•x2=b2-3

，由此能夠得到k₁+k₂為定值．

解答：解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2，
∴a=2，c=1，b=

3

，
∴橢圓M的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立直線l的方程與橢圓方程，得：

y= 1 2 x+b，① x2 4 + y2 3 =1，②

①代入②，得：3x2+4(

1

2

x+b)2=12，
化簡(jiǎn)，得：x²+bx+b²-3=0，③
當(dāng)△＞0時(shí)，即b²-4（b²-3）＞0，
即|b|＜2時(shí)，直線l與橢圓有兩交點(diǎn)，
由韋達(dá)定理，得：

x1+x2=-b  x1•x2=b2-3

，
∴k1=

y1- 3 2

x1-1

=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

，
k2=

y2- 3 2

x2-1

=

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

，
∴k₁+k₂=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

+

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

=

x1•x2+(b-2)(x1+x2 )+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=

b2-3+(b-2)(-b)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=0，
∴k₁+k₂為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．