已知x∈R，向量
OA
=(acos2x， 1)， 
OB
=(2， 
3
asin2x-a)，f(x)=
OA
•
OB
，a≠0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）解析式，并求當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，f（x）的最大值為5，求a的值．
（Ⅰ）f(x)=2acos2x+
3
asin2x-a（2分）
=
3
asin2x+acos2x（4分）
=2asin(2x+
π
6
)．（6分）
當(dāng)2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)時(shí)，
即kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
(k∈Z)時(shí)．
f（x）為增函數(shù)，即f（x）的增區(qū)間為[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
](k∈Z)（9分）
（Ⅱ）f(x)=2asin(2x+
π
6
)，當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]．
若a＞0，當(dāng)2x+
π
6
=
π
2
時(shí)，f（x）最大值為2a=5，則a=
5
2
．（11分）
若a＜0，當(dāng)2x+
π
6
=
7π
6
時(shí)，f（x）的最大值為-a=5，則a=-5．（13分）
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x∈R，向量
OA
=(acos2x， 1)， 
OB
=(2， 
3
asin2x-a)，f(x)=
OA
•
OB
，a≠0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）解析式，并求當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，f（x）的最大值為5，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知單位向量
OA
和
OB
的夾角為90°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，若
OC
=x
OA
+y
OB
(x，y∈R)，則xy的取值范圍是
[0，
1
2
]
[0，
1
2
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2009•大連二模）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為-1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且直線x-3y+4=0與向量
OA
+
OB
的平行．
（I）求橢圓的離心率；
（II）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N（λ，μ），且滿(mǎn)足
OM
=λ(
OA
+
OB
)+μ
AB
(λ，μ∈R)，求N的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•成都三模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（-
2
，0）、（
2
，0），點(diǎn)A、N滿(mǎn)足
AE
=2
3
，
ON
=
1
2
(
OA
+
OF
)，過(guò)點(diǎn)N且垂直于AF的直線交線段AE于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）若軌跡C上存在兩點(diǎn)P和Q關(guān)于直線l：y=k（x+1）（k≠0）對(duì)稱(chēng)，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)R、S，對(duì)點(diǎn)B（1，0）和向量a=（-
3
，3k），求
BR
•
BS
-|a|2取最大值時(shí)直線l的方程．

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