Question

已知cosα=

2 5

5

，cos（β-α）=

3 10

10

，且0＜α＜β＜

π

2

．
（1）求tan2α
（2）求β的值．

Answer 1

分析：（1）由題意和平方關(guān)系求出sinα的值，再由商的關(guān)系求出tanα，利用倍角的正弦公式求出tan2α；
（2）由α、β的范圍求出β-α的范圍，再由題意和平方關(guān)系求出sin（β-α）的值，由商的關(guān)系求出tan（β-α），利用
β=α+β-α和兩角差的正弦公式求出tanβ．

解答：解：（1）∵cosα=

2 5

5

，0＜α＜

π

2

…（1分）
∴sinα=

5

5

…（2分）
則tanα=

sinα

cosα

=

5 5

2 5 5

=

1

2

…（3分）
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

…（6分）
（2）∵0＜α＜β＜

π

2

，∴0＜β-α＜

π

2

…（7分）
∵cos(β-α)=

3 10

10

，∴sin(β-α)=

10

10

…（8分）
∴tan(β-α)=

sin(β-α)

cos(β-α)

=

10 10

3 10 10

=

1

3

，由(1)得tanα=

1

2

則tanβ=tan(α+β-α)=

tanα+tan(β-α)

1-tanαtan(β-α)

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1…（10分）
由0＜β＜

π

2

得，β=

π

4

…（12分）

點評：本題考查了同角的三角函數(shù)基本關(guān)系，以及倍角和兩角差的正弦公式應(yīng)用，注意三角函數(shù)值的符號，這是易錯的地方．