Question

設函數(shù)f（x）=lnx-ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）當lnx＜ax對于x∈（0，+∞）上恒成立時，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若k，n∈N^*，且1≤k≤n，證明：

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n  )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e-1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）lnx＜ax對于x∈（0，+∞）上恒成立，等價于f（x）_max＜0，求出最大值，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）先證明

1

(1+ k n )n

＞

1

ek

，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：求導函數(shù)，可得f′(x)=

1

x

-a（x＞0）
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＞0時，由f′（x）＞0可得0＜x＜

1

a

，由f′（x）＞0可得x＞

1

a

，
∴當a≤0時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（0，+∞）；當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（0，

1

a

），單調減區(qū)間是（

1

a

，+∞）；
（Ⅱ）解：lnx＜ax對于x∈（0，+∞）上恒成立，等價于f（x）_max＜0
由上知，a≤0時，不成立；
a＞0時，f(x)max=f(

1

a

)=ln

1

a

-1＜0，∴a＞

1

e

；
（Ⅲ）證明：∵函數(shù)f（x）=lnx-ax，由（Ⅱ）知，a=1時，f(x)max=f(

1

a

)=ln

1

a

-1=-1
∴l(xiāng)nx-x＜-1
∴l(xiāng)nx＜x-1
令x=1+

k

n

，則ln(1+

k

n

)＜

k

n

，∴nln(1+

k

n

)＜k，∴ln(1+

k

n

)n＜k
∴(1+

k

n

)n＜ek，∴

1

(1+ k n )n

＞

1

ek

∴

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n  )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e

+

1

e2

+…+

1

e2

+

1

2n

=

1 e (1- 1 en-1 )

1- 1 e

+

1

2n

當n→+∞時，

1 e (1- 1 en-1 )

1- 1 e

→

1

e-1

．
∴

1

(1+ 1 n )n

+

1

(1+ 2 n )n

+…+

1

(1+ k n  )n

+…+

1

(1+ n n )n

＞

1

e-1

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．