Question

（2013•溫州二模）設(shè)函數(shù)f（x）=

1 a-1 (x-1)，(x≥a) 1 a-2 (x-2)，(x＜a)

，若存在t₁，t₂使得f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，則t₁-t₂的取值范圍是

（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：分a＜1，a＞2，1＜a＜2三種情況進(jìn)行討論：根據(jù)圖象的特殊點(diǎn)可作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象及函數(shù)單調(diào)性可表示出f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，由此可得t₁-t₂的取值范圍．

解答：解：①若a＜1，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖（1），∵f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，∴t₁＞a，t₂＜a，
即f（t₁）=

1

a-1

(t1-1)=

1

2

，即t1=

1

2

(a-1)+1=

a+1

2

，
f（t₂）=

1

a-2

(t2-2)=

3

2

，即t2=

3a-2

2

，
∴t1-t2=

a+1

2

-

3a-2

2

=

3-2a

2

=

3

2

-a，
∵a＜1，∴-a＞-1，
∴t₁-t₂=

3

2

-a＞

1

2

．
②a＞2，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖（2）
∵f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

，∴t₁＜a，t₂＞a，
即f（t₁）=

1

a-2

(t1-2）=

1

2

，即t1=

a+2

2

，
f（t₂）=

1

a-1

(t2-1)=

3

2

，即t2=

3a-1

2

，
∴t₁-t₂=

a+2

2

-

3a-1

2

=

3-2a

2

=

3

2

-a，
∵a＞2，∴-a＜-2，
∴t₁-t₂=

3

2

-a＜-

1

2

．
③1＜a＜2，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖（3）：則此時(shí)函數(shù)f（x）的最大值為1，
∵f（t₁）=

1

2

，f（t₂）=

3

2

＞1
∴此時(shí)t₂不存在，即1＜a＜2，不成立．
綜上：t₁-t₂的取值范圍是（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)的求值問(wèn)題，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，利用條件確定t₁，t₂的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．正確畫(huà)出函數(shù)圖象是解決問(wèn)題的突破點(diǎn)．