Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（

x

4

+1），數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數(shù)n，點（n，S_n）都在f（x）的反函數(shù)圖象上，又b_n=a_n-log₂a_n，{b_n}前n項和為B_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；  
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和B_n．

Answer 1

分析：（1）先利用點（n，S_n）都在f（x）的反函數(shù)圖象上即點（S_n，n）都在f（x）的原函數(shù)圖象上，得到關(guān)于S_n的表達式；再利用已知前n項和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項公式的方法即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；  
（2）先求出數(shù)列{b_n}的通項公式，發(fā)現(xiàn)通項為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．；再利用數(shù)列求和的錯位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項和B_n．

解答：解：（1）由題得n=log2(

sn

4

+1)?s_n=2ⁿ⁺²-4．
n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹，
當n=1時，a₁=s₁=2³-4=4也適合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ⁺¹；
（2）∵b_n=a_n•log2an=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴B_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹      ①
2B_n=2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²     ②
②-①得：B_n=-2³-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2³-

23(1-2n-1)

1-2

+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=（n+1）•2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²
=n•2ⁿ⁺²．

點評：本題的第二問考查了數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．